1. Найти \(\dfrac{1+ g\alpha}{1+\ctg\alpha}\), если \(\cos\alpha=-\dfrac{12}{13}\), \(\alpha\in\mathrm{III}\) четверти.

По чёрной записи указана III четверть; красная пометка, по-видимому, указывает II четверть. Вычислим для обоих вариантов.

Так как \(|\sin\alpha|=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{5}{13}\), в III четверти \(\sin\alpha=-\dfrac{5}{13}\), поэтому \( g\alpha=\dfrac{5}{12}\) и \(\ctg\alpha=\dfrac{12}{5}\).

Для III четверти: \(\dfrac{1+ g\alpha}{1+\ctg\alpha}=\dfrac{1+\frac{5}{12}}{1+\frac{12}{5}}=\dfrac{17}{12}\cdot\dfrac{5}{17}=\dfrac{5}{12}\).

Если верна красная пометка о II четверти, то \( g\alpha=-\dfrac{5}{12}\), \(\ctg\alpha=-\dfrac{12}{5}\), и значение выражения равно \(\dfrac{1-\frac{5}{12}}{1-\frac{12}{5}}=-\dfrac{5}{12}\).

Ответ: при условии из чёрной записи \(\dfrac{5}{12}\); если подразумевалась II четверть, \(-\dfrac{5}{12}\).