4. Упростить выражение: [перед дробью есть зачёркнутый неразборчивый фрагмент] \(\dfrac{6}{5 g\alpha+5\ctg\alpha}\).

Видимая дробь имеет числитель 6 и знаменатель \(5 g\alpha+5\ctg\alpha\). Зачёркнутый фрагмент слева от неё не удаётся надёжно прочитать; решение ниже относится к этой дроби.

Вынесем 5 за скобки: \(\dfrac{6}{5( g\alpha+\ctg\alpha)}\). Используем тождество \( g\alpha+\ctg\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{2}{\sin 2\alpha}\).

Тогда \(\dfrac{6}{5( g\alpha+\ctg\alpha)}=\dfrac{6}{10/\sin 2\alpha}=\dfrac{3}{5}\sin 2\alpha\).

Красная запись \(\dfrac{3}{10 g\alpha+10\ctg\alpha}\) не равна исходной видимой дроби: её знаменатель вдвое больше, а числитель вдвое меньше.

Ответ: \(\dfrac{3}{5}\sin 2\alpha\) для видимой дроби.