1. Найти периметр ромба ABCD, если угол В равен 60°, АС = 20 см.

Задание 1. Периметр ромба

Дано:

• Ромб ABCD.
• Угол В = 60°.
• Диагональ АС = 20 см.

Найти: периметр ромба.

Решение:

1. В ромбе все стороны равны, поэтому периметр \( P = 4a \), где \( a \) — сторона ромба.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам. Рассмотрим треугольник ABC. Угол B = 60°, значит, углы при основании AB равны \( \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \). Треугольник ABC равносторонний.
3. Тогда сторона ромба \( AB = BC \).
4. Диагональ АС делит угол A пополам. В треугольнике AOB, угол AOB = 90°, угол OAB = \( \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ \) (половина угла ромба A, который равен \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)).
5. Рассмотрим треугольник AOB. Угол AOB = 90°, угол OAB = 60°, угол OBA = 30°. Диагональ АС = 20 см, значит, \( AO = OC = 10 \) см.
6. В прямоугольном треугольнике AOB: \( OB = AO \tan(60^\circ) = 10 \tan(60^\circ) = 10\[0.5ex]\sqrt{3} \) см.
7. Сторона ромба \( AB = \frac{AO}{\cos(60^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20 \) см.
8. Периметр ромба \( P = 4 \times AB = 4 \times 20 = 80 \) см.

Ответ: 80 см.