1. Найти первообразную в общем виде. I вариант: а) f(x) = 9x³ + 8x⁷ + 15; б) f(x) = 5/(2√(3x + 2)) + 1/sin²(4x); в) f(x) = 5 sin(x/5) + cos 2x. II вариант: а) f(x) = 10x² + 6x³ + 5x; б) f(x) = 6/(5√(4x + 2)) − 1/cos²(5x); в) f(x) = 3 cos(x/3) + sin 3x.

Используем правило интегрирования степенной функции и формулы первообразных для тригонометрических функций; к каждой первообразной добавляем произвольную константу C.

I вариант

1. а) Интегрируем слагаемые по отдельности: F(x) = (9/4)x⁴ + x⁸ + 15x + C.
2. б) Для первого слагаемого учитываем производную 3x + 2, а для второго используем ∫csc²(4x) dx = −(1/4)cot(4x): F(x) = (5/3)√(3x + 2) − (1/4)cot(4x) + C.
3. в) По формулам интегрирования синуса и косинуса: F(x) = −25 cos(x/5) + (1/2)sin(2x) + C.

II вариант

1. а) Интегрируем каждое слагаемое: F(x) = (10/3)x³ + (3/2)x⁴ + (5/2)x² + C.
2. б) В первом слагаемом делаем замену u = 4x + 2; во втором используем ∫sec²(5x) dx = (1/5)tan(5x): F(x) = (3/5)√(4x + 2) − (1/5)tan(5x) + C.
3. в) Применяем формулы интегрирования cos(kx) и sin(kx): F(x) = 9 sin(x/3) − (1/3)cos(3x) + C.