2. Найти первообразную, график которой проходит через точку A. I вариант: а) f(x) = 3x² − 2x + 4; A(−1; 1). б) f(x) = 4x + 1/x²; A(−1; 4). в) f(x) = sin 2x; A(π/4; −2). II вариант: а) f(x) = 4x − 6x² + 1; A(0; 2). б) f(x) = 1/x² − 10x⁴ + 3; A(1; 5). в) f(x) = √2 cos x; A(π/4; 2).

Сначала находим общую первообразную F(x), затем подставляем координаты точки A и определяем C из условия F(x_A) = y_A.

I вариант

1. а) F(x) = x³ − x² + 4x + C. Из F(−1) = 1 получаем −1 − 1 − 4 + C = 1, поэтому C = 7. Искомая первообразная: F(x) = x³ − x² + 4x + 7.
2. б) F(x) = 2x² − 1/x + C. Из F(−1) = 4 получаем 2 + 1 + C = 4, поэтому C = 1. Искомая первообразная: F(x) = 2x² − 1/x + 1.
3. в) F(x) = −(1/2)cos(2x) + C. Из F(π/4) = −2 получаем C = −2. Искомая первообразная: F(x) = −(1/2)cos(2x) − 2.

II вариант

1. а) F(x) = 2x² − 2x³ + x + C. Из F(0) = 2 следует C = 2. Искомая первообразная: F(x) = 2x² − 2x³ + x + 2.
2. б) F(x) = −1/x − 2x⁵ + 3x + C. Из F(1) = 5 получаем −1 − 2 + 3 + C = 5, поэтому C = 5. Искомая первообразная: F(x) = −1/x − 2x⁵ + 3x + 5.
3. в) F(x) = √2 sin x + C. Из F(π/4) = 2 получаем 1 + C = 2, поэтому C = 1. Искомая первообразная: F(x) = √2 sin x + 1.