3. Вычислить интеграл. I вариант: а) ∫₁²(3x² − 4x − 2/x²) dx; б) ∫₁⁴(4√x − 3x²) dx; в) ∫_{π/4}^{π/2} sin(2x − π/4) dx. II вариант: а) ∫₁⁴(4/x² + 2x − 3x²) dx; б) ∫₁⁴(4x³ − 3√x) dx; в) ∫₀^{π/24} 2/sin²(2x + π/4) dx.

Находим первообразную подынтегральной функции и вычисляем её значение на верхнем пределе за вычетом значения на нижнем.

I вариант

1. а) Первообразная: F(x) = x³ − 2x² + 2/x. Тогда ∫₁² = F(2) − F(1) = 1 − 1 = 0.
2. б) Первообразная: F(x) = (8/3)x^3/2 − x³. Тогда ∫₁⁴ = F(4) − F(1) = (−128/3) − (5/3) = −133/3.
3. в) Первообразная: F(x) = −(1/2)cos(2x − π/4). Тогда ∫_π/4^π/2 = (√2/4) − (−√2/4) = √2/2.

II вариант

1. а) Первообразная: F(x) = −4/x + x² − x³. Тогда ∫₁⁴ = F(4) − F(1) = −49 − (−4) = −45.
2. б) Первообразная: F(x) = x⁴ − 2x^3/2. Тогда ∫₁⁴ = F(4) − F(1) = 240 − (−1) = 241.
3. в) Первообразная: F(x) = −cot(2x + π/4). Тогда ∫₀^π/24 = −cot(π/3) + cot(π/4) = 1 − 1/√3. Ответ: 1 − 1/√3.