5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций. I вариант: y = −x² − 4x и y = 4 + x. II вариант: y = 4x − x² и y = 4 − x.

Находим точки пересечения графиков, затем интегрируем разность верхней и нижней функций между точками пересечения.

I вариант. Точки пересечения определяются уравнением −x² − 4x = 4 + x, откуда x² + 5x + 4 = 0 и x = −4, −1. На этом промежутке парабола расположена выше прямой. Поэтому S = ∫₋₄⁻¹(−x² − 5x − 4)dx = [−x³/3 − 5x²/2 − 4x]₋₄⁻¹ = 9/2.

II вариант. Точки пересечения определяются уравнением 4x − x² = 4 − x, откуда x² − 5x + 4 = 0 и x = 1, 4. На этом промежутке парабола расположена выше прямой. Поэтому S = ∫₁⁴(−x² + 5x − 4)dx = [−x³/3 + 5x²/2 − 4x]₁⁴ = 9/2.