1. Найти первообразную в общем виде: левая колонка — первая функция обрезана, виден фрагмент «… + 8x⁷ + 15»; 5/(3x+2) + 1/sin²(4x); sin(x/5) + cos 2x; а) f(x) = 10x⁹ + 6x⁵ + 5x; б) f(x) = 6/(5√(4x+2)) + 1/cos²(5x); в) f(x) = 3 cos(x/3) + sin 3x.

В первом фрагменте левой колонки начало функции обрезано, поэтому первообразную для всей функции определить нельзя. Для видимой части первообразная равна \(x^8+15x+C\); пришлите начало выражения, чтобы завершить этот пункт.

1. \(\int \left(\frac{5}{3x+2}+\frac{1}{\sin^2(4x)}\right)dx=\frac{5}{3}\ln|3x+2|-\frac14\cot(4x)+C\).

   Использованы формулы для интегралов \(1/u\) и \(1/\sin^2u\) с учётом производных внутренних функций.

2. \(\int \left(\sin\frac{x}{5}+\cos 2x\right)dx=-5\cos\frac{x}{5}+\frac12\sin 2x+C\).

3. а) Интегрируем слагаемые по степенному правилу:

   \(F(x)=x^{10}+x^6+\frac52x^2+C\).

4. б) Для первого слагаемого используем замену \(u=4x+2\), для второго — интеграл от \(\sec^2(5x)\):

   \(F(x)=\frac35\sqrt{4x+2}+\frac15\tan(5x)+C\).

5. в) Интегрируем с учётом множителей при аргументах:

   \(F(x)=9\sin\frac{x}{3}-\frac13\cos 3x+C\).