3. Вычислить интеграл: левая колонка обрезана; а) ∫₁⁴ (4/x² + 2x − 3x²) dx; б) ∫₁⁴ (4x³ − 3√x) dx; в) ∫₀^(π/4) 2 dx/sin²(2x + π/4).

Интегралы в левой колонке обрезаны: по фотографии нельзя достоверно восстановить их подынтегральные выражения и пределы. Пришлите левую часть задания целиком.

1. а) Первообразная подынтегральной функции:

   \(F(x)=-\frac4x+x^2-x^3\).

   \(\int_1^4\left(\frac4{x^2}+2x-3x^2\right)dx=F(4)-F(1)=(-49)-(-4)=-45\).

2. б) Первообразная:

   \(F(x)=x^4-2x^{3/2}\).

   \(\int_1^4(4x^3-3\sqrt{x})dx=F(4)-F(1)=240-(-1)=241\).

3. в) Первообразная функции равна \(-\cot(2x+\pi/4)\), так как производная этой функции — \(2/\sin^2(2x+\pi/4)\).

   \(\int_0^{\pi/4}\frac{2\,dx}{\sin^2(2x+\pi/4)}=-\cot\frac{3\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{4}=2\).

Ответ: а) −45; б) 241; в) 2.