2. Найти первообразную, график которой проходит через точку A: левая колонка — обрезанные фрагменты «… − 2x + 4; A(−1;1)», «1/x²; A(−1;4)», функция перед A(π/4;−2) обрезана; а) f(x) = 4x − 6x² + 1; A(0;2); б) f(x) = 1/x² − 10x⁴ + 3; A(1;5); в) f(x) = √2 cos x; A(π/4;2).

В первом и третьем фрагментах левой колонки не видна часть функции, поэтому определить соответствующие первообразные нельзя. Пришлите эти выражения целиком.

1. Для читаемого фрагмента левой колонки \(f(x)=1/x^2\) получаем \(F(x)=-1/x+C\). Используем условие \(F(-1)=4\): \(1+C=4\), откуда \(C=3\). Значит, \(F(x)=-1/x+3\).

2. а) Интегрируем функцию:

   \(F(x)=2x^2-2x^3+x+C\).

   Подставляем координаты точки: \(F(0)=2\), поэтому \(C=2\).

   Ответ: \(F(x)=2x^2-2x^3+x+2\).

3. б) Находим первообразную:

   \(F(x)=-\frac1x-2x^5+3x+C\).

   Из условия \(F(1)=5\) следует \(-1-2+3+C=5\), то есть \(C=5\).

   Ответ: \(F(x)=-\frac1x-2x^5+3x+5\).

4. в) \(F(x)=\sqrt2\sin x+C\). Из условия \(F(\pi/4)=2\) и равенства \(\sqrt2\sin(\pi/4)=1\) получаем \(C=1\).

   Ответ: \(F(x)=\sqrt2\sin x+1\).