1) Найти x.

Решение:

На рисунке изображен круг с центром в точке O. OD и OE — радиусы. ∠DOF = 40°. ∠DOE = x.

Так как OD и OE — радиусы, треугольник DOF — прямоугольный, так как DF — касательная к окружности в точке D, следовательно OD ⊥ DF. В прямоугольном треугольнике DOF, ∠ODF = 90°.

В треугольнике DOF, сумма углов равна 180°.

∠ODF + ∠DFO + ∠DOF = 180°

90° + ∠DFO + 40° = 180°

∠DFO = 180° - 90° - 40° = 50°

Угол DOE — центральный угол, опирающийся на дугу DE. Угол DFE — вписанный угол, опирающийся на дугу DE.

Угол между касательной DF и хордой DE равен углу, вписанному в окружность, опирающемуся на ту же дугу DE.

Если бы точка E была на дуге, то угол DFE = 1/2 * ∠DOE. Но у нас угол DOE — центральный.

Рассмотрим треугольник DOF. OD — радиус, DF — касательная. ∠ODF = 90°.

В треугольнике DOF: ∠DFO = 50°, ∠DOF = 40°, ∠ODF = 90°.

Треугольник DOE — равнобедренный, так как OD = OE (радиусы).

∠OED = ∠ODE.

Угол x = ∠DOE.

В треугольнике DOF, ∠ODF = 90°. Так как OD - радиус, а DF - касательная, то OD ⊥ DF.

В треугольнике DOF: ∠DOF = 40°, ∠ODF = 90°, ∠DFO = 180° - 90° - 40° = 50°.

Рассмотрим треугольник ODE. OD = OE (радиусы). ∠ODE = ∠OED.

Внешний угол треугольника DOF, при вершине D, равен сумме двух других углов: 90°.

Угол между касательной DF и хордой DE равен половине центрального угла ∠DOE. Это не так.

Угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, равен половине дуги, которую они заключают. Дуга DЕ. ∠DFE = 50°. Угол ∠DFE опирается на дугу DE. Значит, центральный угол ∠DOE = 2 * ∠DFE = 2 * 50° = 100°.

Но ∠DFE не является вписанным углом, опирающимся на дугу DE.

Угол между касательной DF и хордой DE равен углу ∠DKE, где K - точка на окружности. Угол ∠DFE — это просто угол.

Угол между касательной DF и хордой DE равен углу ∠DCE, где C — точка на окружности, лежащая на дуге DE.

Угол, образованный касательной и хордой, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол ∠DFE = 50°.

Рассмотрим угол ∠ODF = 90°. ∠ODF = ∠ODE + ∠EDF. Это неверно.

Угол между касательной DF и хордой DE равен половине дуги DE. ∠DFE = 50°.

Центральный угол ∠DOE = x. Дуга DE = x.

Угол между касательной DF и хордой DE равен углу, вписанному в окружность, опирающемуся на ту же дугу DE.

∠DFE = 50°.

Рассмотрим треугольник DOF. OD = OF (нет, OF не радиус). OD = OE (радиусы).

В треугольнике DOF: ∠ODF = 90°, ∠DOF = 40°, ∠DFO = 50°.

Рассмотрим треугольник ODE. OD = OE. ∠ODE = ∠OED.

Угол между касательной DF и хордой DE равен углу, вписанному в окружность, опирающемуся на ту же дугу DE.

∠DFE = 50°.

∠DFE является углом между касательной DF и хордой DE.

Этот угол равен половине дуги DE.

Дуга DE = 2 * ∠DFE = 2 * 50° = 100°.

Центральный угол x = ∠DOE, который равен дуге DE.

x = 100°.

Проверка: В треугольнике ODE, OD=OE. ∠DOE = 100°. ∠ODE = ∠OED = (180° - 100°)/2 = 40°.

∠ODF = 90°. ∠EDF = ∠ODF - ∠ODE = 90° - 40° = 50°.

Угол между касательной DF и хордой DE равен ∠EDF = 50°. Этот угол равен половине дуги DE. Дуга DE = 100°. Центральный угол x = 100°.

Ответ: x = 100°.