4) Найти x.

Решение:

На рисунке изображен круг с центром в точке L. EF и FK — касательные к окружности. ∠EFK = 40°.

Так как EF и FK — касательные к окружности, проведенные из одной точки F, то EF = FK. Следовательно, треугольник EFK — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠FEK = ∠FKE.

Сумма углов в треугольнике EFK равна 180°.

∠EFK + ∠FEK + ∠FKE = 180°

40° + ∠FEK + ∠FKE = 180°

2 * ∠FEK = 180° - 40° = 140°

∠FEK = ∠FKE = 140° / 2 = 70°.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, LE ⊥ EF и LK ⊥ FK.

∠LEF = 90° и ∠LKF = 90°.

Рассмотрим четырехугольник LEFK. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠ELK + ∠LEF + ∠EFK + ∠LKF = 360°

∠ELK + 90° + 40° + 90° = 360°

∠ELK = 360° - 90° - 40° - 90° = 140°.

Угол x = ∠LEK. Этот угол является частью угла ∠LEF = 90°.

Рассмотрим треугольник LEK. LE = LK (радиусы). Следовательно, треугольник LEK — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠LEK = ∠LKE.

Угол ∠ELK = 140° — центральный угол, опирающийся на дугу EK. Значит, дуга EK = 140°.

Угол x = ∠LEK — вписанный угол, опирающийся на дугу L K. Нам нужно найти ∠ELK.

x = ∠LEK. В треугольнике LEK, LE = LK. ∠ELK = 140°.

∠LEK = ∠LKE = (180° - 140°)/2 = 40°/2 = 20°.

x = 20°.

Проверка: ∠LEF = 90°. ∠LEK = 20°. ∠KEF = ∠LEF - ∠LEK = 90° - 20° = 70°. Это соответствует рассчитанному углу ∠FEK = 70°.

Ответ: x = 20°.