5) Найти x.

Решение:

На рисунке изображен круг с центром в точке O. AC и AK — касательные к окружности. P — точка на окружности. ∠PAK = 70°.

Так как AC и AK — касательные к окружности, проведенные из одной точки A, то AC = AK. Следовательно, треугольник ACK — равнобедренный.

Рассмотрим четырехугольник OACK. OC ⊥ AC и OK ⊥ AK, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

∠OCA = 90° и ∠OKA = 90°.

Сумма углов в четырехугольнике OACK равна 360°.

∠COK + ∠OCA + ∠CAK + ∠OKA = 360°

∠COK + 90° + 70° + 90° = 360°

∠COK = 360° - 90° - 70° - 90° = 110°.

Угол x = ∠OCK. Это угол между хордой CK и радиусом OC.

Рассмотрим треугольник OCK. OC = OK (радиусы). Следовательно, треугольник OCK — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠OCK = ∠OKC.

Центральный угол ∠COK = 110° опирается на дугу CK. Следовательно, дуга CK = 110°.

Угол x = ∠OCK. В равнобедренном треугольнике OCK:

∠OCK + ∠OKC + ∠COK = 180°

2 * x + 110° = 180°

2 * x = 180° - 110° = 70°

x = 70° / 2 = 35°.

Ответ: x = 35°.