1. Построить график функции y = x² − 8x + 13. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 2; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция убывает.

Преобразуем функцию: \(y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3\). Это парабола с ветвями вверх и вершиной \((4;-3)\).

а) При \(x=1.5\): \(y=1.5^2-8\cdot1.5+13=3.25\).

б) Приравниваем функцию к 2: \((x-4)^2-3=2\), поэтому \((x-4)^2=5\), откуда \(x=4\pm\sqrt5\), то есть приблизительно \(x\approx1.76\) и \(x\approx6.24\).

в) Нули функции найдём из уравнения \((x-4)^2-3=0\): \(x=4\pm\sqrt3\). Поскольку парабола направлена вверх, \(y>0\) при \(x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3)\).

г) До вершины парабола убывает, поэтому функция убывает на \((-\infty;4]\).

Ответ: а) 3,25; б) \(x=4\pm\sqrt5\); в) нули \(4\pm\sqrt3\), положительна вне промежутка между нулями, отрицательна внутри; г) убывает на \((-\infty;4]\).