1. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+1)(x+2)}{-2-x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne-2\). При этих значениях \(x\):

\(y=\frac{(x^2+1)(x+2)}{-(x+2)}=-(x^2+1)\). Поэтому график — парабола \(y=-x^2-1\) с выколотой точкой \((-2;-5)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-x^2-1=kx\), то есть \(x^2+kx+1=0\), причём \(x\ne-2\). При \(D=k^2-4=0\) получаем \(k=\pm2\); в обоих случаях есть одна допустимая точка пересечения.

Также при \(k=\frac52\) корни уравнения — \(-2\) и \(-\frac12\). Корень \(-2\) исключён из области определения, поэтому остаётся ровно одна общая точка. В остальных случаях число допустимых точек не равно одной.

Ответ: \(k=-2,\ 2,\ \frac52\).