4. При каком значении \(c\) парабола \(y=-x^2+10x+c\) касается прямой \(y=-7\)?

Вершина параболы находится при \(x=-\frac{10}{2(-1)}=5\). Значение функции в вершине равно \(-25+50+c=c+25\).

Для касания горизонтальной прямой вершина должна лежать на этой прямой: \(c+25=-7\), поэтому \(c=-32\).

Проверка: при \(c=-32\) уравнение пересечения принимает вид \(-x^2+10x-32=-7\), то есть \(-(x-5)^2=0\), что соответствует одной точке касания.

Ответ: \(c=-32\).