2. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,\ если\ x\ge2,\\-x+7,\ если\ x<2\end{cases}$ и определите, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,\ если\ x\ge2,\\-x+7,\ если\ x<2\end{cases}$ и определите, при…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,\ если\ x\ge2,\\-x+7,\ если\ x<2\end{cases}$ и определите, при каких значениях параметра $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для ветви $y=-x^2+6x-3=-(x-3)^2+6$, где $x\ge2$, наибольшее значение равно 6. При $m=5$ горизонталь пересекает эту ветвь в точках с абсциссами 2 и 4; при $m=6$ — в одной точке с абсциссой 3.

Для ветви $y=-x+7$, где $x<2$, значения функции строго больше 5. Поэтому прямая $y=5$ с ней не пересекается, а прямая $y=6$ пересекает её в точке $x=1$.

При $m=5$ всего две общие точки, и при $m=6$ тоже две. При остальных значениях число точек пересечения иное.

Ответ: $m=5$ и $m=6$.