1. Постройте график функции y = x² − 8x + 13. Найдите: а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 2; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция убывает.

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \(y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3\). Вершина параболы — точка \((4;-3)\), ветви направлены вверх.

График функции и прямая \(y=2\):

1. При \(x=1.5\): \(y=1.5^2-8\cdot1.5+13=2.25-12+13=3.25\).
2. При \(y=2\): \((x-4)^2-3=2\), поэтому \((x-4)^2=5\) и \(x=4\pm\sqrt5\).
3. Нули функции: \((x-4)^2-3=0\), откуда \(x=4\pm\sqrt3\). Поскольку парабола направлена вверх, \(y>0\) при \(x\in(-\infty;4-\sqrt3)\cup(4+\sqrt3;+)\), а \(y<0\) при \(x\in(4-\sqrt3;4+\sqrt3)\).
4. Функция убывает до вершины, то есть при \(x\in(-\infty;4]\).

Ответ: а) 3,25; б) \(x=4\pm\sqrt5\); в) нули \(4\pm\sqrt3\), \(y>0\) при \(x<4-\sqrt3\) или \(x>4+\sqrt3\), \(y<0\) при \(4-\sqrt3<x<4+\sqrt3\); г) \((-;4]\).