1. Правильные многоугольники. Найдите углы правильного восьмиугольника и его площадь, если радиус описанной около него окружности равен 4см. Ответ:

Решение:

• Углы правильного восьмиугольника:
• Внешний угол: \( 360^{\circ} / 8 = 45^{\circ} \)
• Внутренний угол: \( 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \)
• Площадь правильного восьмиугольника:
• Сторона восьмиугольника, вписанного в окружность радиусом R, находится по формуле: \( a = 2R   \sin(rac{180^{\circ}}{n}) \), где n - число сторон.
• \( a = 2  4  \sin(rac{180^{\circ}}{8}) = 8  \sin(22.5^{\circ}) \)
• \( \sin(22.5^{\circ}) \approx 0.3827 \)
• \( a \approx 8  0.3827 \approx 3.0616 \) см.
• Площадь правильного n-угольника: \( S = \frac{1}{2} P  r \), где P - периметр, r - апофема.
• Апофема \( r = R  \cos(rac{180^{\circ}}{n}) \)
• \( r = 4  \cos(22.5^{\circ}) \)
• \( \cos(22.5^{\circ}) \approx 0.9239 \)
• \( r \approx 4  0.9239 \approx 3.6956 \) см.
• Периметр \( P = n  a = 8  3.0616 \approx 24.4928 \) см.
• \( S \approx \frac{1}{2}  24.4928  3.6956 \approx 45.25 \) см².
• Альтернативная формула площади через радиус описанной окружности: \( S = rac{1}{2} n R^2   \sin(rac{360^{\circ}}{n}) \)
• \( S = rac{1}{2}  8  4^2  \sin(rac{360^{\circ}}{8}) = 4  16  \sin(45^{\circ}) = 64  rac{\sqrt{2}}{2} = 32  \sqrt{2} \)
• \( S \approx 32  1.414 \approx 45.248 \) см².

Ответ: Углы восьмиугольника равны 135°, площадь ≈ 45.25 см².