5. Комбинированная задача. В правильный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Найдите сторону треугольника и радиус описанной около него окружности. Ответ:

Решение:

Для правильного треугольника существуют известные соотношения между радиусом вписанной окружности (r), радиусом описанной окружности (R) и стороной треугольника (a).

• Связь радиусов: Для правильного треугольника радиус описанной окружности всегда в два раза больше радиуса вписанной окружности: \( R = 2r \).
• По условию, \( r = 2 \) см.
• Следовательно, \( R = 2  2 = 4 \) см.
• Связь стороны и радиуса вписанной окружности: Сторона правильного треугольника равна \( a = 2r \sqrt{3} \).
• Подставляем значение r:
• \( a = 2  2  \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} \) см.
• Проверка через радиус описанной окружности: Сторона правильного треугольника также равна \( a = R  \sqrt{3} \).
• \( a = 4  \sqrt{3} \) см. Совпадает.

Ответ: Сторона треугольника равна \( 4 \sqrt{3} \) см, радиус описанной окружности равен 4 см.