1. Преобразуйте в многочлен: a) 4x(2x-1)(x-3)(x+3); б) (p + 3)(p-11)+(p+6)2; в) 7(a+b)2 – 14ab.

Краткое пояснение:

Для преобразования выражений в многочлен необходимо раскрыть скобки, применяя правила умножения многочленов и формулы сокращенного умножения.

Пошаговое решение:

1. а) 4x(2x-1)(x-3)(x+3)
   
   
   
   • Сначала умножим (x-3)(x+3), используя формулу разности квадратов: \( (x-3)(x+3) = x^2 - 9 \).
   
   
   • Теперь имеем: \( 4x(2x-1)(x^2 - 9) \).
   
   
   • Умножим \( 4x \) на \( (2x-1) \): \( 4x(2x-1) = 8x^2 - 4x \).
   
   
   • Итого: \( (8x^2 - 4x)(x^2 - 9) \).
   
   
   • Раскроем скобки: \( 8x^2 · x^2 - 8x^2 · 9 - 4x · x^2 + 4x · 9 \)
   
   
   • \( 8x^4 - 72x^2 - 4x^3 + 36x \)
   
   
   • Приведем в стандартный вид: \( 8x^4 - 4x^3 - 72x^2 + 36x \)
   
   
   
   


2. б) (p + 3)(p-11)+(p+6)²
   
   
   
   • Раскроем первую скобку: \( (p+3)(p-11) = p · p + p · (-11) + 3 · p + 3 · (-11) = p^2 - 11p + 3p - 33 = p^2 - 8p - 33 \).
   
   
   • Раскроем вторую скобку (квадрат суммы): \( (p+6)^2 = p^2 + 2 · p · 6 + 6^2 = p^2 + 12p + 36 \).
   
   
   • Сложим полученные выражения: \( (p^2 - 8p - 33) + (p^2 + 12p + 36) \).
   
   
   • \( p^2 - 8p - 33 + p^2 + 12p + 36 \)
   
   
   • Приведем подобные слагаемые: \( (p^2 + p^2) + (-8p + 12p) + (-33 + 36) \)
   
   
   • \( 2p^2 + 4p + 3 \)
   
   
   
   


3. в) 7(a+b)² – 14ab
   
   
   
   • Раскроем квадрат суммы: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
   
   
   • Умножим на 7: \( 7(a^2 + 2ab + b^2) = 7a^2 + 14ab + 7b^2 \).
   
   
   • Теперь вычтем 14ab: \( (7a^2 + 14ab + 7b^2) - 14ab \).
   
   
   • \( 7a^2 + 14ab + 7b^2 - 14ab \)
   
   
   • Приведем подобные слагаемые: \( 7a^2 + (14ab - 14ab) + 7b^2 \)
   
   
   • \( 7a^2 + 7b^2 \)
   
   
   
   

Ответ:
a) \( 8x^4 - 4x^3 - 72x^2 + 36x \)
б) \( 2p^2 + 4p + 3 \)
в) \( 7a^2 + 7b^2 \)