5. Докажите тождество (x - y)² + (x + y)² = 2(x² + y²).

Краткое пояснение:

Чтобы доказать тождество, раскроем скобки в левой части выражения, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы, а затем приведем подобные слагаемые.

Пошаговое решение:

1. Левая часть: (x - y)² + (x + y)²
   
   
   
   • Раскроем квадрат разности: \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \).
   
   
   • Раскроем квадрат суммы: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).
   
   
   • Сложим полученные выражения: \( (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) \).
   
   
   • \( x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 \)
   
   
   • Приведем подобные слагаемые: \( (x^2 + x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 + y^2) \).
   
   
   • \( 2x^2 + 0 + 2y^2 \)
   
   
   • \( 2x^2 + 2y^2 \)
   
   
   
   


2. Правая часть: 2(x² + y²)
   
   
   
   • Раскроем скобки: \( 2 · x^2 + 2 · y^2 \).
   
   
   • \( 2x^2 + 2y^2 \)
   
   
   
   


3. Сравнение частей:
   
   
   
   • Левая часть равна \( 2x^2 + 2y^2 \).
   
   
   • Правая часть равна \( 2x^2 + 2y^2 \).
   
   
   • Так как обе части равны, тождество доказано.
   
   
   
   

Ответ: Тождество \( (x - y)^2 + (x + y)^2 = 2(x^2 + y^2) \) доказано.