1. (problems.ru, 88059) Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа «в уме». Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. «1210», — немедленно выпалил Незнайка. «Ты неправ!» — сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

Если среди цифр исходного числа есть ноль, произведение цифр равно нулю. Если нуля нет, простые множители произведения цифр могут быть только 2, 3, 5 и 7, поскольку это простые множители цифр от 1 до 9.

Но 1210 = 2 · 5 · 11² содержит множитель 11. Значит, произведением цифр никакого числа 1210 быть не может.

Ответ: Знайка заметил, что 1210 делится на 11, а произведение цифр не может иметь простых множителей, отличных от 2, 3, 5 и 7.