1. Прямая, параллельная основанию АС равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС), пересекает боковые стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно. Найдите углы треугольника MNB, если ∠BAC=58°.

Решение:

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle BAC = \angle BCA = 58^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 58^{\circ}) = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \).

По условию \( MN \parallel AC \). Следовательно, \( \triangle MBN \) подобен \( \triangle ABC \) (по двум углам: \( \angle B \) — общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) и \( \angle BNM = \angle BCA \) как соответственные углы при параллельных прямых \( MN \) и \( AC \) и секущих \( AB \) и \( BC \)).

Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \triangle MBN \) также равнобедренный с основанием \( MN \), поэтому \( MB = NB \).

Углы при основании \( MN \) равны: \( \angle BMN = \angle BNM \).

Углы \( \triangle MNB \) равны углам \( \triangle ABC \) из-за подобия.

Следовательно, \( \angle MBN = \angle ABC = 64^{\circ} \).

\( \angle BMN = \angle BNM = \frac{180^{\circ} - 64^{\circ}}{2} = \frac{116^{\circ}}{2} = 58^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника MNB равны 64°, 58°, 58°.