1. Прямая PM пересекает плоскость α в точке M, N ∈ PM, MN:NP = 2:1, PP₁ ∥ NN₁, NN₁ = 14 см; P₁ и N₁ — точки пересечения параллельных прямых с плоскостью α. а) Докажите, что точки M, N₁ и P₁ лежат на одной прямой. б) Найдите длину PP₁.

а) Через прямые PM, NN₁ и PP₁ проходит одна плоскость, поскольку NN₁ ∥ PP₁ и обе пересекают PM. Линия пересечения этой плоскости с α содержит M, N₁ и P₁: точки M, N₁ и P₁ принадлежат обеим плоскостям. Значит, они лежат на одной прямой.

б) Параллельное проектирование из плоскости, содержащей PM, NN₁ и PP₁, задаёт подобные треугольники MNN₁ и MPP₁. Поэтому \(\frac{NN_1}{PP_1}=\frac{MN}{MP}\). По условию MN:NP = 2:1, следовательно, \(\frac{MN}{MP}=\frac{2}{3}\).

\(PP_1=NN_1\cdot\frac{MP}{MN}=14\cdot\frac{3}{2}=21\) см.

Ответ: а) M, N₁ и P₁ лежат на одной прямой; б) PP₁ = 21 см.