3. Точка D не лежит в плоскости ABC, точки E, F, G и K — середины отрезков AD, DC, BC и AB. а) Докажите, что точки E, F, G и K лежат в одной плоскости. б) Найдите периметр четырёхугольника EFGK, если AC = 18 см, BD = 24 см.

а) В треугольнике ADC точки E и F — середины сторон AD и DC, поэтому по свойству средней линии \(EF\parallel AC\). В треугольнике ABC точки K и G — середины AB и BC, поэтому \(KG\parallel AC\). Следовательно, EF ∥ KG.

В треугольнике DCB отрезок FG соединяет середины DC и BC, значит, \(FG\parallel DB\). В треугольнике DAB отрезок EK соединяет середины DA и AB, значит, \(EK\parallel DB\). Следовательно, FG ∥ EK. Обе пары противоположных сторон четырёхугольника EFGK параллельны, поэтому EFGK — параллелограмм; его вершины лежат в одной плоскости.

б) По свойству средней линии \(EF=KG=\frac{AC}{2}=9\) см, а \(FG=EK=\frac{BD}{2}=12\) см.

\(P_{EFGK}=2(9+12)=42\) см.

Ответ: а) точки E, F, G и K компланарны; б) 42 см.