1. Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен 7√3см. Найти периметр треугольника. Найти площадь треугольника.

Решение:

Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны с высотой \( h \) и стороной \( a \) следующим образом:

\( R = \frac{2}{3}h \)

\( r = \frac{1}{3}h \)

\( h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \)

\( R = \frac{\sqrt{3}}{3}a \)

По условию, \( R = 7\sqrt{3} \) см.

1. Найдем сторону правильного треугольника:
• \( R = \frac{\sqrt{3}}{3}a \)
• \( 7\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}a \)
• \( a = 7\sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} \)
• \( a = 21 \) см.
2. Найдем периметр треугольника:
• \( P = 3a \)
• \( P = 3 \cdot 21 \)
• \( P = 63 \) см.
3. Найдем площадь треугольника:
• \( S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \)
• \( S = \frac{\sqrt{3}}{4}(21)^2 \)
• \( S = \frac{441\sqrt{3}}{4} \) см².

Ответ: Периметр треугольника равен 63 см. Площадь треугольника равна \(\frac{441\sqrt{3}}{4}\) см².