1. Радиус основания цилиндра относится к его высоте как 1:2. Найдите объём цилиндра, если диагональ его осевого сечения равна 14√2.

Пусть радиус основания цилиндра равен *r*, а высота равна *h*. По условию, *r* : *h* = 1 : 2, значит, *h* = 2*r*. Диагональ осевого сечения цилиндра является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота *h* и диаметр основания 2*r*. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов катетов: $$(2r)^2 + h^2 = (14\sqrt{2})^2$$ Подставляем *h* = 2*r*: $$(2r)^2 + (2r)^2 = (14\sqrt{2})^2$$ $$4r^2 + 4r^2 = 196 * 2$$ $$8r^2 = 392$$ $$r^2 = 392 / 8$$ $$r^2 = 49$$ $$r = 7$$ Тогда высота *h* = 2*r* = 2 * 7 = 14. Объём цилиндра вычисляется по формуле *V* = π * r² * h. Подставляем значения: *V* = π * 7² * 14 = π * 49 * 14 = 686π. **Ответ:** Объем цилиндра равен 686π.