1. Разложите на множители: a) 36x²-y²; б) 0,04a²-9b²; в) -a²+121b²; г) a⁴-1,44b²; д) 81b⁶-c¹²; e) a¹²-1.

Решение:

Для разложения на множители будем использовать формулы разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$, разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$, суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$ и квадрат суммы/разности: $$(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2$$.

• a) $$36x^2 - y^2$$
  Это разность квадратов: $$(6x)^2 - y^2 = (6x - y)(6x + y)$$
• б) $$0.04a^2 - 9b^2$$
  Это разность квадратов: $$(0.2a)^2 - (3b)^2 = (0.2a - 3b)(0.2a + 3b)$$
• в) $$-a^2 + 121b^2$$
  Это можно переписать как $$121b^2 - a^2$$, что является разностью квадратов: $$(11b)^2 - a^2 = (11b - a)(11b + a)$$
• г) $$a^4 - 1.44b^2$$
  Это разность квадратов: $$(a^2)^2 - (1.2b)^2 = (a^2 - 1.2b)(a^2 + 1.2b)$$
• д) $$81b^6 - c^{12}$$
  Это разность квадратов: $$(9b^3)^2 - (c^6)^2 = (9b^3 - c^6)(9b^3 + c^6)$$
• е) $$a^{12} - 1$$
  Это разность квадратов: $$(a^6)^2 - 1^2 = (a^6 - 1)(a^6 + 1)$$. Также $$a^6 - 1$$ можно разложить как разность кубов: $$(a^2)^3 - 1^3 = (a^2 - 1)((a^2)^2 + a^2 · 1 + 1^2) = (a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1)$$. И $$a^2 - 1$$ это разность квадратов: $$(a-1)(a+1)$$. Таким образом, полное разложение: $$(a-1)(a+1)(a^2+1)(a^4+a^2+1)(a^6+1)$$.