5. Докажите, что при любом целом п: a) значение выражения (5n+2)² - (3n-2)² делится на 16; б) значение выражения (7n+1)²-(3n-11)² делится на 40.

Решение:

Для доказательства будем использовать формулу разности квадратов: $$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$.

а) Докажем, что $$(5n+2)^2 - (3n-2)^2$$ делится на 16.

Применим формулу разности квадратов:

$$(5n+2)^2 - (3n-2)^2 = ((5n+2) - (3n-2))((5n+2) + (3n-2))$$

Упростим выражения в скобках:

• Первая скобка: $$(5n+2) - (3n-2) = 5n + 2 - 3n + 2 = 2n + 4 = 2(n+2)$$
• Вторая скобка: $$(5n+2) + (3n-2) = 5n + 2 + 3n - 2 = 8n$$

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$$2(n+2) · 8n = 16n(n+2)$$

Так как полученное выражение содержит множитель 16, оно делится на 16 для любого целого $$n$$.

б) Докажем, что $$(7n+1)^2 - (3n-11)^2$$ делится на 40.

Применим формулу разности квадратов:

$$(7n+1)^2 - (3n-11)^2 = ((7n+1) - (3n-11))((7n+1) + (3n-11))$$

Упростим выражения в скобках:

• Первая скобка: $$(7n+1) - (3n-11) = 7n + 1 - 3n + 11 = 4n + 12 = 4(n+3)$$
• Вторая скобка: $$(7n+1) + (3n-11) = 7n + 1 + 3n - 11 = 10n - 10 = 10(n-1)$$

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$$4(n+3) · 10(n-1) = 40(n+3)(n-1)$$

Так как полученное выражение содержит множитель 40, оно делится на 40 для любого целого $$n$$.

Вывод: В обоих случаях выражения после разложения на множители содержат множители, обеспечивающие делимость на 16 и 40 соответственно.