3. Представьте в виде произведения: a) 1-(x−y)²; б) 64a²-(a-3b)²; в) 9(a+b)²-4; г) 25-16(a-b)²; д) (a+b+c)²-(a+b−c)²; e) (x+2y-1)²-(x-2y+1)².

Решение:

Будем использовать формулу разности квадратов: $$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$.

• a) $$1 - (x-y)^2$$
  Здесь $$A=1$$, $$B=(x-y)$$.
  $$(1 - (x-y))(1 + (x-y)) = (1 - x + y)(1 + x - y)$$
• б) $$64a^2 - (a-3b)^2$$
  Здесь $$A=8a$$, $$B=(a-3b)$$.
  $$(8a - (a-3b))(8a + (a-3b)) = (8a - a + 3b)(8a + a - 3b) = (7a + 3b)(9a - 3b)$$
• в) $$9(a+b)^2 - 4$$
  Здесь $$A=3(a+b)$$, $$B=2$$.
  $$(3(a+b) - 2)(3(a+b) + 2) = (3a + 3b - 2)(3a + 3b + 2)$$
• г) $$25 - 16(a-b)^2$$
  Здесь $$A=5$$, $$B=4(a-b)$$.
  $$(5 - 4(a-b))(5 + 4(a-b)) = (5 - 4a + 4b)(5 + 4a - 4b)$$
• д) $$(a+b+c)^2 - (a+b-c)^2$$
  Здесь $$A=(a+b+c)$$, $$B=(a+b-c)$$.
  ((a+b+c) - (a+b-c))((a+b+c) + (a+b-c)) = (a+b+c-a-b+c)(a+b+c+a+b-c) = (2c)(2a+2b) = 4c(a+b)
• е) $$(x+2y-1)^2 - (x-2y+1)^2$$
  Здесь $$A=(x+2y-1)$$, $$B=(x-2y+1)$$.
  ((x+2y-1) - (x-2y+1))((x+2y-1) + (x-2y+1)) = (x+2y-1-x+2y-1)(x+2y-1+x-2y+1) = (4y-2)(2x) = 4x(2y-1)