1. Решить иррациональное уравнение √x + 1 = x-5

Решение:

Дано иррациональное уравнение: \( \sqrt{x + 1} = x - 5 \).

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{x + 1})^2 = (x - 5)^2 \)
2. Упростим: \( x + 1 = x^2 - 10x + 25 \)
3. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \)
4. Упростим: \( x^2 - 11x + 24 = 0 \)
5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) и \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
7. Произведём проверку корней.
8. Для \( x = 8 \): \( \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3 \). Правая часть: \( 8 - 5 = 3 \). \( 3 = 3 \). Корень \( x = 8 \) подходит.
9. Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \). Правая часть: \( 3 - 5 = -2 \). \( 2 \neq -2 \). Корень \( x = 3 \) не подходит.

Ответ: x = 8.