2. Решить показательные уравнения: г) 2^x+4 - 2^x = 12

Решение:

Дано показательное уравнение: \( 2^{x+4} - 2^x = 12 \).

1. Воспользуемся свойством степени \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \) для первого члена: \( 2^x \cdot 2^4 - 2^x = 12 \)
2. Вычислим \( 2^4 \): \( 16 \cdot 2^x - 2^x = 12 \)
3. Вынесем \( 2^x \) за скобки: \( 2^x (16 - 1) = 12 \)
4. Упростим выражение в скобках: \( 2^x \cdot 15 = 12 \)
5. Выразим \( 2^x \): \( 2^x = \frac{12}{15} \)
6. Сократим дробь: \( 2^x = \frac{4}{5} \)
7. Чтобы найти \( x \), применим логарифмирование. Возьмём логарифм по основанию 2 от обеих частей уравнения: \( \log_2(2^x) = \log_2\left(\frac{4}{5}\right) \)
8. Упростим: \( x = \log_2(4) - \log_2(5) \)
9. Так как \( \log_2(4) = 2 \), то: \( x = 2 - \log_2(5) \).

Ответ: x = 2 - log₂(5).