3. Решить системы уравнений б) {16^x = 64^y, 27^x+1 = 81^y-1}

Решение:

Дана система уравнений: \( \begin{cases} 16^x = 64^y \\ 27^{x+1} = 81^{y-1} \end{cases} \).

1. Представим основания степеней в виде степеней числа 4 для первого уравнения и числа 3 для второго: \( 16 = 4^2 \), \( 64 = 4^3 \), \( 27 = 3^3 \), \( 81 = 3^4 \).
2. Подставим это в систему: \( \begin{cases} (4^2)^x = (4^3)^y \\ (3^3)^{x+1} = (3^4)^{y-1} \end{cases} \)
3. Воспользуемся свойством степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( \begin{cases} 4^{2x} = 4^{3y} \\ 3^{3(x+1)} = 3^{4(y-1)} \end{cases} \)
4. Приравняем показатели степеней в каждом уравнении: \( \begin{cases} 2x = 3y \\ 3(x+1) = 4(y-1) \end{cases} \)
5. Раскроем скобки во втором уравнении: \( \begin{cases} 2x = 3y \\ 3x + 3 = 4y - 4 \end{cases} \)
6. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = \frac{2}{3}x \).
7. Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение: \( 3x + 3 = 4\left(\frac{2}{3}x\right) - 4 \)
8. Упростим: \( 3x + 3 = \frac{8}{3}x - 4 \)
9. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \( 3x - \frac{8}{3}x = -4 - 3 \)
10. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{9x - 8x}{3} = -7 \)
11. Упростим: \( \frac{x}{3} = -7 \)
12. Выразим \( x \): \( x = -21 \).
13. Найдем \( y \), подставив значение \( x \) в выражение \( y = \frac{2}{3}x \): \( y = \frac{2}{3} \cdot (-21) = 2 \cdot (-7) = -14 \).

Ответ: x = -21, y = -14.