2. Решить показательные уравнения: б) 9 · 81^1-2x = 27^2-x

Решение:

Дано показательное уравнение: \( 9 \cdot 81^{1-2x} = 27^{2-x} \).

1. Представим все основания степеней как степени числа 3: \( 9 = 3^2 \), \( 81 = 3^4 \), \( 27 = 3^3 \).
2. Подставим это в уравнение: \( 3^2 \cdot (3^4)^{1-2x} = (3^3)^{2-x} \)
3. Воспользуемся свойством степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 3^2 \cdot 3^{4(1-2x)} = 3^{3(2-x)} \)
4. Упростим показатели: \( 3^2 \cdot 3^{4-8x} = 3^{6-3x} \)
5. Воспользуемся свойством степени \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) для левой части: \( 3^{2 + (4-8x)} = 3^{6-3x} \)
6. Упростим показатель левой части: \( 3^{6-8x} = 3^{6-3x} \)
7. Приравняем показатели степеней, так как основания равны: \( 6 - 8x = 6 - 3x \)
8. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа в другую: \( -8x + 3x = 6 - 6 \)
9. Упростим: \( -5x = 0 \)
10. Выразим \( x \): \( x = 0 \).

Ответ: x = 0.