1. Решите неравенство x \(\leq\) \(\frac{16}{x}\).

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x \leq \frac{16}{x} \), перенесём все члены в одну сторону:

\[ x - \frac{16}{x} \leq 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2 - 16}{x} \leq 0 \]

Разложим числитель на множители:

\[ \frac{(x - 4)(x + 4)}{x} \leq 0 \]

Методом интервалов найдём промежутки, где выражение неположительно:

Корни числителя: \( x = 4 \) и \( x = -4 \). Корень знаменателя: \( x = 0 \).

Рассмотрим знаки на интервалах:

• \( x < -4 \): \( \frac{(-)(-) }{(-)} = - \) (отрицательно)
• \( -4 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} = + \) (положительно)
• \( 0 < x < 4 \): \( \frac{(-)(+)}{(+)} = - \) (отрицательно)
• \( x > 4 \): \( \frac{(+)(+)}{(+)} = + \) (положительно)

Неравенство \( \leq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; -4] \) и \( (0; 4] \). Точка \( x=0 \) не включается, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup (0; 4] \).