2. Решите неравенство \(\frac{x^2}{x-6}\) \(\leq\) x.

Решение:

Перенесём всё в левую часть неравенства:

\[ \frac{x^2}{x-6} - x \leq 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2 - x(x-6)}{x-6} \leq 0 \]

\[ \frac{x^2 - x^2 + 6x}{x-6} \leq 0 \]

\[ \frac{6x}{x-6} \leq 0 \]

Рассмотрим знаки выражения \( \frac{6x}{x-6} \) на интервалах:

• Корни числителя: \( 6x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
• Корень знаменателя: \( x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \).
• \( x < 0 \): \( \frac{(-)}{(-)} = + \) (положительно)
• \( 0 < x < 6 \): \( \frac{(+)}{(-)} = - \) (отрицательно)
• \( x > 6 \): \( \frac{(+)}{(+)} = + \) (положительно)

Неравенство \( \leq 0 \) выполняется при \( 0 \leq x < 6 \). Точка \( x=6 \) не включается, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \( x \in [0; 6) \).