3. Решите неравенство \(\frac{1}{3x}\) \(\geq\) \(\frac{1}{x-4}\).

Решение:

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{1}{3x} - \frac{1}{x-4} \geq 0 \]

Приведём к общему знаменателю \( 3x(x-4) \):

\[ \frac{x-4 - 3x}{3x(x-4)} \geq 0 \]

\[ \frac{-2x - 4}{3x(x-4)} \geq 0 \]

Умножим числитель и знаменатель на \( -1 \), изменив знак неравенства:

\[ \frac{2x + 4}{3x(x-4)} \leq 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \).
• Знаменатель: \( 3x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0 \) или \( x = 4 \).

Рассмотрим знаки на интервалах:

• \( x < -2 \): \( \frac{(-)}{(-)(-)} = - \) (отрицательно)
• \( -2 < x < 0 \): \( \frac{(+)}{(-)(-)} = + \) (положительно)
• \( 0 < x < 4 \): \( \frac{(+)}{(+)(-)} = - \) (отрицательно)
• \( x > 4 \): \( \frac{(+)}{(+)(+)} = + \) (положительно)

Неравенство \( \leq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty; -2] \) и \( (0; 4) \). Точки \( x=0 \) и \( x=4 \) не включаются, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: \( x \in (-\infty; -2] \cup (0; 4) \).