1. Решите систему уравнений: \begin{cases}x+y=3,\\x^2+y^2=29.\end{cases}

Для решения данной системы уравнений, мы можем использовать метод подстановки. Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $$y$$: \begin{equation} y = 3 - x \end{equation} Теперь подставим это выражение для $$y$$ во второе уравнение: \begin{equation} x^2 + (3 - x)^2 = 29 \end{equation} Раскроем скобки и упростим: \begin{equation} x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29 \end{equation} \begin{equation} 2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0 \end{equation} \begin{equation} 2x^2 - 6x - 20 = 0 \end{equation} Разделим обе части на 2: \begin{equation} x^2 - 3x - 10 = 0 \end{equation} Теперь решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Используем дискриминант: \begin{equation} D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \end{equation} Найдем корни: \begin{equation} x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{equation} \begin{equation} x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \end{equation} Теперь найдем соответствующие значения $$y$$: Если $$x_1 = 5$$, то $$y_1 = 3 - 5 = -2$$. Если $$x_2 = -2$$, то $$y_2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$$. Таким образом, решения системы уравнений: $$x=5, y=-2$$ или $$x=-2, y=5$$ **Ответ:** (5, -2), (-2, 5)