3. Решите графически систему уравнений: \begin{cases}x^2+y^2=25,\\xy=12.\end{cases}

Данная система уравнений представляет собой пересечение двух графиков: окружности и гиперболы. Уравнение $$x^2 + y^2 = 25$$ описывает окружность с центром в начале координат и радиусом 5. Уравнение $$xy=12$$ представляет собой гиперболу. Графическое решение означает, что мы должны найти координаты точек пересечения этих двух графиков. Решение этой системы сложно точно найти графически на бумаге, поэтому нужно рассмотреть алгебраический подход и воспользоваться некоторыми свойствами. Заметим, что из уравнения $$xy = 12$$, мы можем выразить $$y = \frac{12}{x}$$ и подставить это в уравнение окружности, получим: $$x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25$$ $$x^2 + \frac{144}{x^2} = 25$$ Умножим все на $$x^2$$, предполагая $$x
e 0$$: $$x^4 + 144 = 25x^2$$ $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$ Сделаем замену $$t = x^2$$, тогда: $$t^2 - 25t + 144 = 0$$ Решим это квадратное уравнение: $$D = (-25)^2 - 4 * 144 = 625 - 576 = 49$$ $$t_1 = (25 + 7) / 2 = 16$$ $$t_2 = (25 - 7) / 2 = 9$$ Значит $$x^2=16$$, $$x_1=4$$, $$x_2=-4$$ и $$x^2=9$$, $$x_3=3$$, $$x_4=-3$$ Если $$x_1 = 4$$, то $$y_1 = \frac{12}{4} = 3$$ Если $$x_2 = -4$$, то $$y_2 = \frac{12}{-4} = -3$$ Если $$x_3 = 3$$, то $$y_3 = \frac{12}{3} = 4$$ Если $$x_4 = -3$$, то $$y_4 = \frac{12}{-3} = -4$$ Итак, точки пересечения графиков: (4, 3), (-4, -3), (3, 4), (-3, -4) **Ответ:** (4, 3), (-4, -3), (3, 4), (-3, -4). Графическое решение подтверждает наличие 4 точек пересечения.