1. Решите уравнение $$1-\sqrt{x-2} = x-1$$

Решение:

1. Перенесём \( \sqrt{x-2} \) вправо, а \( x-1 \) влево: \( 1 - (x-1) = \sqrt{x-2} \)
2. Упростим: \( 2 - x = \sqrt{x-2} \)
3. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (2 - x)^2 = x - 2 \)
4. Раскроем скобки: \( 4 - 4x + x^2 = x - 2 \)
5. Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета): \( x_1 = 2, x_2 = 3 \).
7. Проверим полученные корни в исходном уравнении.
8. Для \( x=2 \): \( 1 - \sqrt{2-2} = 2-1 \) \( 1 - 0 = 1 \) \( 1 = 1 \) (верно).
9. Для \( x=3 \): \( 1 - \sqrt{3-2} = 3-1 \) \( 1 - \sqrt{1} = 2 \) \( 1 - 1 = 2 \) \( 0 = 2 \) (неверно).

Ответ: x = 2.