9. Образующая конуса 6 см и наклонена к основанию под углом 30°. Найдите объём конуса.

Решение:

1. Обозначим образующую как \( l \), угол наклона к основанию как \( \alpha \), радиус основания как \( r \) и высоту конуса как \( h \).
2. Дано: \( l = 6 \) см, \( \alpha = 30^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, высотой и радиусом, образующая является гипотенузой.
4. Найдем радиус основания \( r \) (прилежащий катет к углу \( \alpha \)): \( r = l \cdot \cos \alpha \)
5. \( r = 6 \cdot \cos 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \) см.
6. Найдем высоту конуса \( h \) (противолежащий катет к углу \( \alpha \)): \( h = l \cdot \sin \alpha \)
7. \( h = 6 \cdot \sin 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \) см.
8. Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
9. Подставим найденные значения \( r \) и \( h \) в формулу:
10. \( V = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 \cdot 3 \)
11. \( V = \frac{1}{3} \pi (9 \cdot 3) \cdot 3 \)
12. \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 27 \cdot 3 \)
13. \( V = \pi \cdot 9 \cdot 3 \)
14. \( V = 27\pi \) см³.

Ответ: $$ 27\pi $$ см³.