10. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 16 см и 12 см, высота призмы равна 14 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение:

Дано:

• Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 16 \) см, \( b = 12 \) см.
• Высота призмы \( h = 14 \) см.

Найти:

• Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} \)

Решение:

1. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} \).
2. Найдем площадь одного основания \( S_{осн} \). Для прямоугольного треугольника площадь равна половине произведения катетов:

\[ S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \) см²

Найдем периметр основания \( P_{осн} \). Сначала найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \) см

Периметр основания:

\[ P_{осн} = a + b + c = 16 + 12 + 20 = 48 \) см

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 48 \cdot 14 \]\[ S_{бок} = 672 \) см²

Теперь найдем площадь полной поверхности призмы:

\[ S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 672 \]\[ S_{полн} = 192 + 672 \]\[ S_{полн} = 864 \) см²

Ответ: 864 см².