5. Найдите точку максимума функции $$ f(x) = 5 + 12x - x^3 $$

Решение:

1. Для нахождения точки максимума функции, найдём её первую производную: \( f'(x) = (5 + 12x - x^3)' \)
2. \( f'(x) = 0 + 12 - 3x^2 \)
3. \( f'(x) = 12 - 3x^2 \)
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 12 - 3x^2 = 0 \)
5. \( 3x^2 = 12 \)
6. \( x^2 = 4 \)
7. \( x = \pm 2 \)
8. Теперь найдём вторую производную, чтобы определить тип экстремума: \( f''(x) = (12 - 3x^2)' \)
9. \( f''(x) = -6x \)
10. Проверим значение второй производной в критических точках:
11. При \( x = 2 \): \( f''(2) = -6 \cdot 2 = -12 \). Так как \( f''(2) < 0 \), то в точке \( x = 2 \) — максимум.
12. При \( x = -2 \): \( f''(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 \). Так как \( f''(-2) > 0 \), то в точке \( x = -2 \) — минимум.

Ответ: x = 2.