8. Докажите тождество $$ \frac{1 - \sin^2 \alpha}{1 - \cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\mathrm{ctg}^2 \alpha} = 1 $$

Решение:

1. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$.
2. Из него следует, что $$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $$ и $$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $$.
3. Также вспомним, что $$ \mathrm{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $$, следовательно, $$ \mathrm{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} $$.
4. Подставим эти выражения в левую часть тождества:
5. $$ \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} $$
6. \( = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \)
7. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:
8. \( = 1 \)
9. Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.