1. Решите уравнение: 3) sin 5x + sin 7x = 0

Решение:

Необходимо решить тригонометрическое уравнение.

1. Используем формулу суммы синусов: \( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \).
2. В нашем случае \( \alpha = 5x \) и \( \beta = 7x \).
3. Подставляем в формулу: \( 2 \sin \frac{5x + 7x}{2} \cos \frac{5x - 7x}{2} = 0 \)
4. \( 2 \sin \frac{12x}{2} \cos \frac{-2x}{2} = 0 \)
5. \( 2 \sin 6x \cos (-x) = 0 \)
6. Так как \( \cos (-x) = \cos x \), получаем: \( 2 \sin 6x \cos x = 0 \).
7. Это означает, что либо \( \sin 6x = 0 \), либо \( \cos x = 0 \).
8. Решаем \( \sin 6x = 0 \): \( 6x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) \(\rightarrow\) \( x = \frac{\pi n}{6} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
9. Решаем \( \cos x = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
10. Обратим внимание, что решения \( x = \frac{\pi n}{6} \) включают в себя и решения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \) (при \( n = 3 \), \( x = \frac{\pi}{2} \); при \( n = 9 \), \( x = \frac{3\pi}{2} \) и т.д.).
11. Таким образом, общее решение: \( x = \frac{\pi n}{6} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi n}{6} \), \( n \in \mathbb{Z} \).