3. Решите уравнение: 2) 3sin²x - sin2x - cos² x = 2;

Решение:

Необходимо решить тригонометрическое уравнение.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
2. Также используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
3. Перепишем уравнение, используя \( 1 = \sin^2 x + \cos^2 x \) для числа 2: \( 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \).
4. Раскроем скобки: \( 3\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( 3\sin^2 x - 2\sin^2 x - 2\sin x \cos x - \cos^2 x - 2\cos^2 x = 0 \).
6. Приведём подобные члены: \( \sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 \).
7. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2 x = 1 \), и уравнение примет вид \( 1 - 0 - 0 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x \neq 0 \)).
8. Получим: \( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 2\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).
9. \( \text{tg}^2 x - 2\text{tg } x - 3 = 0 \).
10. Сделаем замену: пусть \( t = \text{tg } x \). Тогда \( t^2 - 2t - 3 = 0 \).
11. Решим квадратное уравнение: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
12. Найдем значения \( t \): \( t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \). \( t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \).
13. Вернемся к замене: \( \text{tg } x = 3 \) или \( \text{tg } x = -1 \).
14. Решения: \( x = \text{arctg } 3 + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \text{arctg } 3 + \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), \( n, k \in \mathbb{Z} \).