3. Решите уравнение: 3) cos5x - cos7x + sin x = 0.

Решение:

Необходимо решить тригонометрическое уравнение.

1. Используем формулу разности косинусов: \( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \).
2. В нашем случае \( \alpha = 5x \) и \( \beta = 7x \).
3. Подставляем в формулу: \( -2 \sin \frac{5x + 7x}{2} \sin \frac{5x - 7x}{2} + \sin x = 0 \).
4. \( -2 \sin \frac{12x}{2} \sin \frac{-2x}{2} + \sin x = 0 \).
5. \( -2 \sin 6x \sin (-x) + \sin x = 0 \).
6. Так как \( \sin (-x) = -\sin x \), получаем: \( -2 \sin 6x (- \sin x) + \sin x = 0 \).
7. \( 2 \sin 6x \sin x + \sin x = 0 \).
8. Вынесем \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (2 \sin 6x + 1) = 0 \).
9. Это означает, что либо \( \sin x = 0 \), либо \( 2 \sin 6x + 1 = 0 \).
10. Решаем \( \sin x = 0 \): \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
11. Решаем \( 2 \sin 6x + 1 = 0 \): \( 2 \sin 6x = -1 \) \(\rightarrow\) \( \sin 6x = -\frac{1}{2} \).
12. Общее решение для \( \sin y = -\frac{1}{2} \) есть \( y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
13. Тогда \( 6x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \).
14. Разделим на 6: \( x = \pm \frac{\pi}{36} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi n \) и \( x = \pm \frac{\pi}{36} + \frac{\pi k}{3} \), \( n, k \in \mathbb{Z} \).