3. Решите уравнение: 1) 4sin²x - 11cosx - 1 = 0;

Решение:

Необходимо решить тригонометрическое уравнение.

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
2. Подставим в уравнение: \( 4(1 - \cos^2 x) - 11\cos x - 1 = 0 \).
3. Раскроем скобки: \( 4 - 4\cos^2 x - 11\cos x - 1 = 0 \).
4. Приведём подобные члены: \( -4\cos^2 x - 11\cos x + 3 = 0 \).
5. Умножим на -1: \( 4\cos^2 x + 11\cos x - 3 = 0 \).
6. Сделаем замену переменной: пусть \( y = \cos x \). Тогда \( 4y^2 + 11y - 3 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).
8. Найдем значения \( y \): \( y_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \). \( y_2 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 \).
9. Вернемся к замене: \( \cos x = \frac{1}{4} \) или \( \cos x = -3 \).
10. Уравнение \( \cos x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 \leq \cos x \leq 1 \).
11. Решаем \( \cos x = \frac{1}{4} \). Общее решение: \( x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \).