1. Решите уравнение \(\frac{1}{x^2} - \frac{5}{x} - 14 = 0\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Введём замену переменной \( y = \frac{1}{x} \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 5y - 14 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7 \)
3. \( y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x} \):

• Случай 1: \( \frac{1}{x} = 7 \Rightarrow x = \frac{1}{7} \)
• Случай 2: \( \frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \)

Проверка: Знаменатель \( x \) не равен нулю. Корни \( x = \frac{1}{7} \) и \( x = -\frac{1}{2} \) подходят.

Ответ: \( x = \frac{1}{7}, x = -\frac{1}{2} \).